Este documento está dirigido a los alumnos. Recuerde que el principal objetivo de este apartado es preparar y
captar al lector.
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos
coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es
una solución y a la ecuación
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Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
Introducción:
Los resultados de las operaciones entre funciones f,g nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0.
Ejemplos: Tomemos las siguientes funciones:
f(x)= x2
g(x)= x
Las operaciones estarían definidas
Suma (f+g)(x) = x2 + x
Diferencia (f-g)(x) = x2 - x
Producto (f g)(x) = (x2) (x) = x3
Cociente (f/g)(x) = x2 / x = x para x¹0
Nótese que en el caso de cociente el caso de x¹0, en este caso no existe este valor debido a las raíces de la función g(x)
Algebra de funciones
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:
Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
Ejemplos para discusión:
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.
2) Sea:
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?
Composición de funciones
Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
Algebra de funciones
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por: