Aperndimos que Pitágoras es un hombre muy sabio, ya que nos enseño la fora de resolver su teorema.
1. Saber usar el sistema de Pitágoras correctamente.
2. Entender que es algo necesario para el desarrollo de algunos elementos de la vida
3. Se aplica a nuestras necesidades básicas del trabajo
4. El teorema de Pitágoras nos da a entender que siempre tiene que ser un triángulo rectángulo.
5. El teorema necesita de una fórmula para realizar el ejercicio dado.
6. El lado más grande siempre es la hipotenusa.
7. Cuando el triángulo es equilátero o isósceles no se puede realizar el teorema de Pitágoras por la hipotenusa.
En esta webquest hablaremos sobre el teorema de Pitágoras, un tema muy importante en la escuela, ya que en varios niveles educativos se ver, y lo aplicamos en muchas partes. Espero que este tutorial les sirva de mucha ayuda, bueno sigamos.
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Introducción:
EL teorema de Pitágoras
El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
El teorema se enuncia así:
c2 = a2+ b2
Hipotenusa = cateto a al cuadrado + cateto b al cuadrado
Donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).
Aquí le dejo las actividades del teorema de Pitágoras, espero que las puedan realizar, con las herramientas que les dejare en las otras opciones.
1 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.
2 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma cm.
3 Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
4 Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
5 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
6 Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
7 En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
8 El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
9 A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.
10 En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
11 Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
12 Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circularcomprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
Ahora les ayudaremos a resolver las actividades antes mencionadas, mediante una información muy completa del teorema de Pitágoras.
Le mostraremos la solución de las primeras 3 actividades:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
Soluciones:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.
Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa de la misma 
cm.
Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
c2 = a · m, b2 = a · n
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al opuesto al ángulo recto, hipotenusa.
La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al original.
El teorema de Pitágoras señala:
La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Dicho de otra manera: En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los
catetos.
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).
el cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente 90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:
te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.
Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.
así por ejemplo, en el triángulo:
hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:
c2- b2 = a2
luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:
a2 = c2 - b2
y ya está despejada.
sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)
a2 = (15)2 - (12)2
elevamos al cuadrado y queda:
a2 = 225 - 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a:
Demostración mediante el cálculo de áreas
La primera demostración se basa en el hecho de que dos cuadrados cuyos lados tienen la misma longitud deben tener la misma área. 
También se usa el cálculo del área de una figura mediante la suma de las áreas de las partes en que se divide dicha figura.
El triángulo ABC es rectángulo.
El 
C = 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.
Se construyen dos cuadrados de lado a + b y se divide esta longitud en segmentos de longitudes a y b, como se muestra en las figuras.
Puesto que los dos cuadrados tienen lados de longitud a + b, los dos tienen la misma área.
El área del cuadrado que se dividió en cuadrados y rectángulos es:
A = a 2 + 2ab + b 2 |
Como las áreas son iguales, se tiene 2ab + c2 = a2 + 2ab + b2. Restando 2 ab de ambos miembros de la igualdad se llega a:
c 2 = a 2 + b 2 |
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Demostración usando longitudes de segmentos
Si en lugar de las áreas se consideran longitudes de segmentos, el teorema de Pitágoras se puede enunciar así: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo es igual que la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
La altura de un triángulo rectángulo trazada sobre la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos semejantes entre sí, y también semejantes al triángulo original.
En el triángulo rectángulo ABC se tiene:
El 
C = 90°, c es la hipotenusa, a y b son los catetos, 
es la altura sobre la hipotenusa.
Para facilitar el siguiente paso, se dibujan los triángulos semejantes como aparecen en la figura anterior.
Aplicando la propiedad fundamental a las proporciones anteriores, se obtiene:
Sumando las dos igualdades, miembro a miembro, se tiene que:
Factorizando c en el segundo miembro, resulta:
Demostración geométrica mediante superposición de figuras
1. Se traza un triángulo rectángulo ABC en el que
C sea igual a 90°, a y b son los catetos, c es la hipotenusa.
2. Ahora se trazan los cuadrados cuyos lados tienen longitudes a, b y c de manera respectiva.
3. Se tratará de probar, mediante superposición, que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Para lo cual se requiere:
4. Localizar el punto medio M del cuadrado de longitud b, lo que se logra trazando las diagonales de dicho cuadrado.
5. Por el punto M, se trazan rectas paralelas a los lados del cuadrado construido sobre la hipotenusa
.
6. Se recorta el cuadrado cuyo lado es a y las partes del cuadrado cuyo lado es b.
7. Se colocan las figuras recortadas sobre el cuadrado cuyo lado es c, como se indica en la figura.
8. Si se cubre exactamente el cuadrado, se cumple que:
c2 = a2 + b2
Le agradezco al a webquest, por dejar difundir las enseñanzas de muchos temas de manera gratuita y al profesor por dejarnos realizar esta actividad que me enseño muchas cosas nuevas.