la circunferencia

¿Qué es una circunferencia?

Definición

Una circunferencia se define como todos los puntos del plano que son equidistantes a un punto dado, llamado centro.

Si O es un punto y r es un número positivo, la circunferencia con centro en O y radio r estará formada por todos los puntos del plano que se encuentran a la distancia r del punto O.

 Construir una circunferencia usando el compás

Para trazar una circunferencia podemos usar el compás. El punto donde se sitúa la aguja del compás es el centro de la circunferencia. La abertura del compás es el radio de la circunferencia

Construcción alternativa

     Si no tenemos compás, ¿cómo podemos dibujar una circunferencia? Por ejemplo, ¿cómopodemos dibujar una circunferencia en la pizarra de clase? Si eres muy hábil podrás hacerlo a mano alzada. De lo contrario, puedes usar un trozo de cuerda. Sujeta uno de sus extremos con el dedo sobre la pizarra, y enrolla una tiza en el otro extremo. Mantén tensa la cuerda y realiza un giro completo hasta que quede dibujado todo el perímetro de la circunferencia.

Calcular el perímetro de una circunferencia

 Por aproximación

Sabemos cómo construir un hexágono regular inscrito en una circunferencia. La figura 3 nos recuerda cómo se hace.

La longitud de los lados del hexágono construido es la misma que la del radio r de la circunferencia; por lo tanto, su perímetro es 6 × r.

6 × r es una aproximación al perímetro de esta circunferencia.

Un dodecágono (polígono de doce lados) dibujado dentro de la misma circunferencia, nos da una aproximación aún más cercana a la realidad. Se puede demostrar que el perímetro del dodecágono es aproximadamente 6,2 × r. Este valor es otra aproximación al perímetro de la circunferencia.

Circunferencia y recta

  Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.

   La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por el símbolo p, o pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos. El matemático griego Arquímedes encontró que el valor de p estaba entre 3 + ‡ y 3 + .

El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de simetría.

Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si no se cortan (no tienen ningún punto en común), tangentes, si sólo se tocan en un punto (punto de tangencia), y secantes si tienen dos puntos comunes.

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia.

Ejercicios resueltos de circunferencia con rectas

1).   Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

SOLUCION:

En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. 

Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene: 

Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente: 

2). Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas:  y.

SOLUCION:

Al resolver simultáneamente el sistema:  se obtiene. 

Así que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1).  
  
  

Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene que  es el valor del radio. Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. con  y , se obtiene: 

Ejercicios propuestos

a). Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos  y.

b). La ecuación:  representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r.

c). Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.

Resultados:

a).  .

b).  y . 

c).   ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25